고장의 형태
Types of Failures
고장이 발생하면 고장형태(Failure Mode)와 함께 고장 시간을 기록하고 이를 계산에 사용하는 것
만으로는 중분하지 않으며, 관측된 고장을 초래한 고장 메커니즘은 반드시 조사를 통해 결정되어야 한다.
전통적인 “고장형태"는 아래의 시스템의 수명곡선인 욕조곡선으로 설명된다.
욕조곡선 (Bath-tub)
욕조곡선의 형태 (bath-tub curve)
여러 가지 부품으로 구성된 제품이나 시스템의 가장 전형적인 고장률 패턴은 욕조곡선을 따릅니다.
제품의 전형적 고장률 패턴 (욕조곡선)
이 욕조곡선은 고장률의 3가지 기본형인 DFR, CFR, IFR이 혼합되어 그려집니다.
① 초기고장률 기간(Infant Mortality)debugging기간, burn-in기간
제품에서 최초의 고장률이 시간적으로 감소하는 DFR의 부분이다.
초기 고장은 보편적으로 제품사양이나 제작기술 기준을 충족하지 못하는 구성품의 결과이며,
초기 고장은 설계가 아니라 품질 관련 문제이다.
제품이 사용됨에 따라 초기 고장이 관측 된다.
시정조치가 이루어지면서 고장은 주어진 시간 동안 일정한 수준에 도달 할 때까지 감소한다.
따라서 초기 고장구간은 고장률 감소로 나타납니다.
Weibull 분포는 초기 고장 구간이 끝나는 시기를 결정하는 데 일반적으로 사용된다.
② 일정 고장률 기간(Constant Failure Rate)
고장률은 시간적으로 거의 일정하며 안정되는 CFR의 부분이다.
이 기간의 길이를 내용수명(longevity)이라 한다.
구성품 및 제작 기술로 인한 고장이 대부분 제거되면 "고장률이 일정한 구간'에 진입한다.
이것은 랜덤고장(우발고장)률 구간이라고도 한다.
특정 구간에서 고장 확률을 예즉할 수 있지만 특정시간에서의 특정고장은 예측할 수 없습니다.
일정 고장률 구간은 신뢰도 예즉 및 지수 분포가 사용되는 영역을 만들기 위한 가장 보편적인
시간 프레임이다.
③ 마모고장기간(Wearout Period)노화고장기간
우측에서 고장률이 증가되는 IFR의 부분을 마모고장기간이라 한다.
구성품이 피로 혹은 마모되기 시작하면 특정 구간 동안고장률 증가가 관측된다.
시간이 지남에 따라 더 이상 실질적으로 사용할 수 없는 지점까지 고장률이 증가된다.
고장률과 고장확률밀도함수
시간당 어떤 비율로 고장이 발생하고 있는가를 나타내는 고장확률밀도함수 f(t)의 종류로는
와이블(Weibull)분포, 지수분포, 정규분포의 3가지가 있다.
• 단일부품의 고장확률밀도함수는
대부분의 경우 정규분포가 되며 사용시간이 증가함에 따라 고장률은 증가하게 된다.
• 여러 개의 부품이 조합되어 만들어진 기기나 시스템의 고장확률밀도함수는 지수분포에 따릅니다.
이는 고장률이 상이한 여러 개 부품이 조합되어 있기 때문에 기기나 시스템
전체의 고장률은 이들의 평균이 되므로 기기나 시스템의 고장률은 일정하게 된다.
• 고장률 $$\lambda(t)$$ 가 일정시 고장확률밀도함수 f(t)는 지수분포를,
고장률 $$\lambda(t)$$가 증가시 고장확률 밀도함수 $$f(t)$$는 정규분포를 따릅니다.
• 한편 와이블분포는 일반적인 수명분포를 나타내는데 편리하게 고안된 븐포이다.
① 형상모수(Shape parameter)m < 1 이면 DFR(Decreasing Failure Rate)인 경우의
고장확률밀도함수를 나타낼 수 있다.
② 형상모수 m > 1 이면 IFR(Increasing Failure Rate)인 경우의
고장확률밀도 함수인 정규분포에 근사하게 된다.
③ 형상모수 m = 1 이면 CFR(Constant Failure Rate)인 경우의
고장확률밀도함수인 지수분포가 된다.
• 위와같이 고장률함수 $$\lambda(t)$$ 는 감소형(DFR), 일정형(CFR), 증가형(IFR)의 3종류가 있으며,
고장률의 형(pattern)과 고장확률밀도함수와는 일정한 관계를 가지고 있는데 이들의 관계를 아래와 같습니다
고장률의 형과 $$f(t)$$와의 관계
고장률
형태 |
신뢰도함수
R(t) |
고장확률 밀도함수
f(t) |
고장률함수
λ(t) |
와이블
형상모수
m |
보전 대책 |
감소형
(DFR) |  |  |  | m < 1 | 예방보전은 하지 않음.
디버깅이 유효 |
일정형
(CFR) |  |  |  | m=1 | 예방보전은 효과없음.
예지보전 또는 계획
사후보전이 유리 |
증가형
(IFR) |  |  |  | m > 1 | 고장나기 전
예방보전으로
부품 교환이 유효 |
고장률의 패턴별 고장대책
고장률의 패턴별 고장에 대한 대책으로서는 다음과 같이 행함.
① 초기고장기간의 고장대책으로서는 debugging을 철저히 행함.
② 우발고장기간의 고장대책으로서는
- 사용 및 보전을 잘 수행하며,
- 극한상황을 고려한 설계,
- 안전계수를 고려한 설계,
- derating 을 한다.
③ 마모고장기간의 고장대책으로서는 예방보전에 의해서만 감소시킬 수 있다.
Example.
If seven items are tested for 50 hours each and three item fail at 20, 38, and 42 hours respectively,
what is the failure rate of the item?
$$$ \lambda=\frac{r}{T}=\frac{3}{20\ +\ 38\ +\ 42\ +\ 4\ x\ 50}\ =\ 0.01rates\ per\ hours $$$
평균수명 E(t)
평균수명의 의미
• 평균수명 E(t)=MTBF (Mean Time Between Failure, 평균고장간격시간)
→ 시스템을 수리해 가면서 사용하는 경우에 해당
• 평균수명 E(t)=MTTF (Mean Time To Failure, 고장까지의 평균시간)
→ 시스템을 수리하여 사용할 수 없는 경우에 해당
• 평균수명 E(t)의계산
$$$ E(t)=\int_{0}^{\infty}t\cdot f(t)dt=\int_{0}^{\infty}R(t)dt$$$
고장확률밀도함수 f(t)가 지수분포인 경우
\begin{align*} & E(t)=\int_{0}^{\infty}R(t)dt=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda}
\\& V(t)=\frac{1}{\lambda^{2}}
\\& MTBF(or MTTF)=t_{0}=\frac{1}{\lambda}
\end{align*}
• 특성수명인 t=t0(MTBF or MTTF)에서는
$$$ R(t)=e^{-\lambda t}=e^{-1}\approx0.368 $$$
• MTBF를 실측 데이터로부터 구할 때
$$$ \hat{\theta}=MTBF=\frac{T}{r}=\frac{1}{\lambda} $$$
여기서, T : 총동작시간, r : 고장횟수
고장확률밀도함수 f(t)가 정규분포인 경우
$$$ E(t)=\mu=\frac{\sum (t_{i}\cdot r_{i})}{\sum r_{i}} $$$
여기서, ti: i 번째 고장체크시간, ri: ti 까지의 구간고장개수
\begin{align*}
& V(t)= \sigma^{2}
\\& 여기서, \sigma=\sqrt
{\frac{ (\sum r_{i})(\sum t_{i}^{2}\cdot r_{i})(\sum t_{i}\cdot r_{i})^{2}}
{\sum r_{i}(\sum r_{i}-1)}}
\\& V(t): 평균수명의 분산
\end{align*}
예제)
100개의 시료에 대해 수명시험을 500시간 실시하였더니 다음 표와 같이 12개가 고장이 났다.
그리고 와이블확률지에 의거 와이블분포의 모수를 추정하였더니 m =0.7, η =8,667, γ =0이었다.
이 시료의 평균수명을 구하고, 평균고장률을 구하라.
| 고장순번(i) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 고장시간(ti) | 6 | 21 | 50 | 84 | 95 | 130 | 205 | 260 | 270 | 370 | 400 | 480 |
☞ m =0.7, η =8,667, ρ =0이므로 와이블분포인 경우 평균수명과 평균고장률은
$$$ E(t)=\eta\cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{m} \right)
=\eta\cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{0.7} \right)
=\eta\cdot \Gamma(2.429)=8,667\times1.266=10,972시간$$$
여기서, 감마함수의 값은 <부표 21> 감마함수표를 활용하여 구함.
$$$ AFR(0,10,972)=\frac{(t_{2}/\eta)^{m}-(t_{1}/\eta)^{m}}{t_{2}-t_{1}}
=\frac{(10,972/8,667)^{0.7}}{10,972}
=\frac{1.1795}{10,972}
=1,075\times 10^{-4} (/시간)$$$